赛题速递：2024年南师附中特长生考试数学加试和信息加试数学题及答案
高中数学联赛由于难度较高，不太适合普通的中学生，所以国家对每个省的参赛人数有所限制，每个省份参赛人数大概在3000附近。为了练兵和公平起见，从2001年附近开始，各个省份都举行了预赛。时间一般是在4、5月份。但是从2019年附近开始，国家不允许竞赛收取费用，没有了经费来源，许多省份就取消了预赛，直接按往年联赛成绩将参赛名额进行分配。但是也有不少省份坚持举办预赛。
2024年数学联赛广西赛区预赛于昨天5月19日9:00-11:30举行。其中的第9题是平面几何题目。本文拟讲解此题的解答及题目的来龙去脉。
题目如下：题1
本题其实是下述经典问题的变形，题2：
在△ABC的AB、AC边外作正方形ABEG和正方形ACFH，联结EF。
求证：线段EF的中点是不随A点的运动而变化的固定点。
容易发现他们的关系：题2中其实G、H是多余的点，EF中点M即满足MB=MC且BM⊥MC，故M为定点。
题2最经典的解法是
思路1：通过特例发现△BMC为等腰直角，故只需证明M在BC上的射影M’为BC中点，且BC=2MM’,由很多垂直想到弦图结构。由中点想到中位线，即可。
证：作EE'⊥BC，FF'⊥BC，MM'⊥BC，AA'⊥BC，
垂足分别为E'、F'、M'、A'。
先证Rt△AA'B≌Rt△BE'E，Rt△AA'C≌Rt△CF'F，
得BE'＝AA'＝CF'，EE'＝BA'，FF'＝CA'。
在梯形EFF'E'中，MM'是中位线，
故M'E'＝M'F'，BM'＝M'E'－BE'
＝M'F'－CF'＝CM'，表明M'是BC中点；①
又由中位线长公式MM'＝(EE'＋FF')/2＝(BA'＋CA')/2＝BC/2。②
由①、②可知M是定点。（其实△MBC是等腰直角三角形）
回过头来看题1，发现是题2的逆命题，可以用同一法来证明，取AB中点P’,由题2知DP’=EP’,DP’⊥P’E，这时可以发现一个问题，满足此条件的P’其实有两个，一个是P，另一个是P关于DE对称点。因此严格上讲，题1是有问题的，必须加一个限制条件要求P与C在DE的同侧，这样由于此点的唯一性才能得到P与P’重合，从而得证。
题2一般被称为“海盗藏宝”模型，其由于出现在初版于1948年的著名科幻作家及科普作家的伽莫夫的科普名著《从一到无穷大》而家喻户晓，获得此模型的美誉。在此书中，伽莫夫用了复数计算的方法对此题作出了证明，具体过程如下，此为解法2：
下面看另一个经典的问题，题3：
如图，D是△ABC的BC边中点，以AB、AC为底边向外作等腰直角三角形
EAC、FAB，使得∠AEC＝∠AFB＝90°。求证：DE与DF相等且垂直。
思路1：
将其补成两个等腰直角三角形的手拉手模型，利用中位线定理即得。
证明1：
设B、Q关于F对称，C、P关于E对称，则BA⊥AQ，AP⊥AC。
则DE是△CBP的中位线，
DF是△BCQ的中位线，
得DE∥BP，DF∥CQ,CQ=2DF,BP=2DE。
又易证△ABP≌△AQC，得BP⊥CQ，
∴DE＝DF且DE⊥DF。证毕
思路2：
作出AB、AC中点，发现全等三角形，再倒角即得。
证明2：
证：取AB、AC中点M、N，
联DM、DN、FM、EN。
则△DMF≌△END。（SAS）
得DE＝DF。
且∠EDF＝∠1＋∠2＋∠3
＝90°，即DE⊥DF。证毕
思路3：看到中线，想到倍长中线。
证明3：倍长FD到G，
则△FBD≅△GCD(SAS),
∴CG=FB=AF,
又EA=EC,
∠ECG=360°-∠BCG-∠C-45°
=360°-∠B-45°-∠C-45°
=∠A+90°=∠FAE,
∴△EAF≅△ECG(SAS),
∴EF=EG且∠FEG=∠AEC=90°
故△FDE为等腰直角三角形。
思路4：想到相似形的手拉手，作出AB中点M，发现△FAE与△FMD为手拉手相似。
证明4：取AB中点M,.
则FA=√2FM,
AE=√2AC/2=√2DM,
又∠BMD=∠BAC,
∴∠FMD=∠FAE,
∴△FMD∼△FAE,
由手拉手相似模型得
△FDE∼△FMA,
∴FD=DE,∠FDE=90°,
仔细思考一下可以发现，其实题2和题3本质上是同一个问题。题2中相当于以AE、AF为底边向下作等腰直角△EBA、ACF，从而题2就变成了题3。
这样对于题2，在上文中我们相当于找到了6种解法。这6种解法当然也都适合于题1，事实上，题1官方提供的参考答案如下，不难发现其本质即为题3的解法3.
当然，题3也是一个人见人爱的题目，1987年高中数学联赛加试的几何题为：
题4：如图，△ABC和△ADE是两个不全等的等腰直角三角形，
现固定△ABC，而将△ADE绕A点在平面上旋转，
试证：不论△ADE旋转到什么位置，线段EC上必存在点M，使△BMD为等腰直角三角形．
不难发现，题中的M为EC中点，题4即为题3.
这样我们就发现上述4个题目其实是一个题目的四个方面，其解答也有上述6种。当然应该还有其他的解法。
所谓“旧时王谢堂前燕，飞入寻常百姓家”，这些早期的高中数学联赛试题，现在都下放到了初中，作为初中数学竞赛，甚至中考试题。很多地方的中考试题都是此题的翻版或者特例。
当然本结论还能再进行推广。
如果是以三角形两个边为底向外作相似的直角三角形，则直角顶点与第三边中点的距离相等。
例如下题，题5：
已知：△ABC中，M是BC中点，E、F分别是BA、CA延长线上的点，满足ME＝MF，过E作AB的垂线，过F作AC的垂线，设这两条垂线相交于D点。
求证：∠DBE＝∠DCF。（2003年初中数学联赛）
如果向形外作两个顶角互补的等腰三角形，则两等腰三角形顶点与第三边连线互相垂直。
例如题6：
已知：如图，圆内接四边形ABCD中，E、F在AB、AD上，且BE=BC,DF=DC,G为EF中点。
求证：BG⊥GD(2018年香港奥林匹克)
还可以考虑将最初的三角形推广为梯形，例如题7：
已知梯形ABCD中，AD//BC，在AB、CD两腰外作正方形ABGE和DCHF，M是EF中点。求证：MA＝MD。（2004年全国初中联赛）
知道了题目的来龙去脉和前世今生，题目的解答往往也就唾手可得了，囿于篇幅，上述题目5、6、7的解答不再赘述。需要说明的是，叶中豪老师（网名“老封”）对此结构有深入研究，上述的题目5、7都是叶老提供的。
当然，上述问题还可以进一步推广，其最一般的形式为：平面上两个相似图形的中点连线构成的图像也与其相似。称为：Peterson-Schoute定理。有兴趣者可自行探讨。
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